Convexe polygonen. Definitie van een convexe polygoon. Diagonalen van een convexe veelhoek

Deze geometrische figuren omringen ons overal. Bolle veelhoeken zijn natuurlijk, bijvoorbeeld bijenranken of kunstmatig (gemaakt door mensen). Deze figuren worden gebruikt bij de productie van verschillende soorten coatings, in schilderkunst, architectuur, decoraties, enz. Convexe polygonen hebben de eigenschap dat al hun punten zich bevinden aan één kant van de lijn die door een paar aangrenzende hoekpunten van deze geometrische figuur loopt. Er zijn andere definities. Convex is die polygoon die zich in een enkel halfvlak bevindt ten opzichte van een lijn die een van zijn zijden bevat.

Convexe polygonen

In de loop van de elementaire geometrie, altijdwe beschouwen alleen eenvoudige polygonen. Om alle eigenschappen van dergelijke geometrische figuren te begrijpen, is het noodzakelijk hun aard te begrijpen. Om te beginnen moet worden begrepen dat elke lijn waarvan de uiteinden samenvallen, gesloten wordt genoemd. En de figuur die erdoor wordt gevormd, kan verschillende configuraties hebben. Een polygoon is een eenvoudige gesloten veelhoekige lijn waarvan de aangrenzende schakels niet op dezelfde lijn liggen. De schakels en pieken zijn respectievelijk de zijkanten en hoekpunten van deze geometrische figuur. Een eenvoudige polylijn mag geen zelfkruisingen hebben.

De hoekpunten van een polygoon worden daarbij aangrenzend genoemdals ze de uiteinden van een van de zijkanten vertegenwoordigen. Een geometrische figuur met het n-de aantal hoekpunten, en dus het n-de aantal zijden, wordt een n-gon genoemd. De stippellijn zelf wordt de grens of contour van deze geometrische figuur genoemd. Een polygonale vlak- of vlakpolygoon wordt het eindige deel van een willekeurig vlak genoemd dat daardoor wordt begrensd. De aangrenzende zijden van deze geometrische figuur zijn de segmenten van een stippellijn die begint bij één hoekpunt. Ze zullen niet naburig zijn als ze afkomstig zijn van verschillende hoekpunten van de polygoon.

Andere definities van convexe polygonen

In elementaire geometrie zijn er verschillende meerequivalent in de betekenis van definities, waarmee wordt aangegeven welke polygoon convex wordt genoemd. En al deze formuleringen zijn even waar. Een convexe polygoon wordt beschouwd als:

• elk segment dat twee punten erin verbindt, ligt er volledig in;

• binnenin liggen alle diagonalen;

• elke interne hoek niet meer dan 180 ° bedraagt.

De veelhoek verdeelt het vlak altijd met 2part. Eén ervan is beperkt (deze kan in een cirkel worden ingesloten) en de andere is onbeperkt. De eerste wordt de binnenste regio genoemd en de tweede wordt de buitenste regio van deze geometrische figuur genoemd. Deze polygoon is de kruising (met andere woorden - de gemeenschappelijke component) van verschillende halve vlakken. In dit geval behoort elk segment dat uiteinden heeft op de punten die bij de polygoon horen er volledig toe.

Soorten convexe polygonen

Definitie van een convexe polygoon geeft niet aanhet feit dat er veel soorten van zijn. En elk van hen heeft bepaalde criteria. Dus convexe polygonen met een interne hoek van 180 ° worden zwak convex genoemd. Een convexe geometrische figuur met drie hoekpunten wordt een driehoek genoemd, vier is een vierhoek, vijf is een vijfhoek, enz. Elk van de convexe n-gons voldoet aan de volgende essentiële vereiste: n moet gelijk zijn aan of groter zijn dan 3. Elk van de driehoeken is convex. Een geometrische figuur van dit type, waarbij alle hoekpunten zich op dezelfde cirkel bevinden, wordt in een cirkel ingeschreven. Een convexe polygoon wordt beschreven als alle zijden rond de cirkel deze raken. Twee polygonen worden alleen gelijk genoemd in het geval dat het gebruik van de overlay kan worden gecombineerd. Een platte polygoon is een veelhoekig vlak (deel van het vlak), dat wordt beperkt door deze geometrische vorm.

Correcte convexe polygonen

Regelmatige polygonen worden genoemdgeometrische vormen met gelijke hoeken en zijden. Binnen hen is er een punt 0, dat zich op dezelfde afstand van elk van zijn hoekpunten bevindt. Het wordt het centrum van deze geometrische figuur genoemd. De segmenten die het midden verbinden met de hoekpunten van deze geometrische figuur worden apothemen genoemd en die die punt 0 verbinden met de zijkanten worden stralen genoemd.

De gewone quad is een vierkant. De rechter driehoek wordt gelijkzijdig genoemd. Voor dergelijke figuren bestaat de volgende regel: elke hoek van een convexe veelhoek is 180 ° * (n-2) / n,

waarbij n het aantal hoekpunten is van deze convexe geometrische figuur.

Het gebied van een regelmatige veelhoek wordt bepaald door de formule:

S = p * h,

waarbij p gelijk is aan de helft van de som van alle zijden van een gegeven veelhoek en h gelijk is aan de lengte van de apotheker.

Eigenschappen van convexe polygonen

Bolle polygonen hebben bepaalde eigenschappen. Het segment dat een willekeurige 2 punten van een dergelijke geometrische figuur verbindt, zit dus noodzakelijkerwijs erin. proof:

Stel dat P een gegeven convex isveelhoek. We nemen 2 willekeurige punten, bijvoorbeeld A, B, die behoren tot R. Volgens de bestaande definitie van een convexe polygoon bevinden deze punten zich aan één zijde van een lijn die elke zijde van P bevat. Daarom heeft AB ook deze eigenschap en is deze opgenomen in R. Een convexe polygoon is altijd het is mogelijk om in een aantal driehoeken absoluut alle diagonalen te verdelen, die uit een van zijn hoekpunten worden getrokken.

Hoeken van convexe geometrische vormen

De hoeken van een convexe polygoon zijn de hoekengevormd door zijn partijen. Binnenhoeken bevinden zich binnen een gegeven geometrische vorm. De hoek die wordt gevormd door de zijkanten, die elkaar raken op hetzelfde hoekpunt, wordt de hoek van een convexe veelhoek genoemd. Hoeken naast de interne hoeken van een gegeven geometrische figuur worden extern genoemd. Elke hoek van een convexe polygoon binnenin is gelijk aan:

180 ° - x

waarbij x de waarde is van de externe hoek. Deze eenvoudige formule is van toepassing op alle geometrische vormen van dit type.

Over het algemeen is dit voor externe hoekenDe volgende regel: elke hoek van een convexe veelhoek is gelijk aan het verschil tussen 180 ° en de grootte van de interne hoek. Het kan waarden hebben van -180 ° tot 180 °. Daarom, als de interne hoek 120 ° is, heeft de externe hoek een waarde van 60 °.

De som van de hoeken van convexe polygonen

De som van de binnenste hoeken van een convexe polygoon wordt bepaald door de formule:

180 ° * (n-2),

waarbij n het aantal hoekpunten van het n-gon is.

De som van de hoeken van een convexe veelhoek wordt berekendvrij eenvoudig. Overweeg een dergelijke geometrische vorm. Om de som van de hoeken binnen een convexe veelhoek te bepalen, moet een van zijn hoekpunten worden verbonden met andere hoekpunten. Als resultaat van een dergelijke actie wordt een (n-2) driehoek verkregen. Het is bekend dat de som van de hoeken van driehoeken altijd gelijk is aan 180 °. Omdat hun aantal in elke veelhoek (n-2) is, is de som van de binnenhoeken van een dergelijke figuur 180 ° x (n-2).

De som van de hoeken van een convexe veelhoek, namelijkelke twee binnenste en aangrenzende buitenste hoeken, zal deze convexe geometrische figuur altijd gelijk zijn aan 180 °. Op basis hiervan kunt u de som van alle hoeken bepalen:

180 x n.

De som van de interne hoeken is 180 ° * (n-2). Op basis hiervan wordt de som van alle externe hoeken van een bepaald cijfer bepaald door de formule:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

De som van de buitenste hoeken van een convexe polygoon is altijd gelijk aan 360 ° (ongeacht het aantal zijden).

De externe hoek van een convexe veelhoek wordt over het algemeen weergegeven door het verschil tussen 180 ° en de interne hoek.

Andere eigenschappen van een convexe polygoon

In aanvulling op de basiseigenschappen van deze geometrischefiguren, ze hebben anderen die ontstaan ​​wanneer ze worden gemanipuleerd. Aldus kan elk van de polygonen worden verdeeld in verschillende convexe n-gons. Om dit te doen, moet je elk van zijn zijden voortzetten en deze geometrische vorm langs deze rechte lijnen knippen. Het is mogelijk om elke veelhoek te splitsen in verschillende convexe delen, zodat de hoekpunten van elk van de stukken samenvallen met al zijn hoekpunten. Vanuit zo'n geometrische vorm kun je heel gemakkelijk driehoeken maken door alle diagonalen van één hoekpunt vast te houden. Elke polygoon kan uiteindelijk worden verdeeld in een bepaald aantal driehoeken, wat erg handig blijkt te zijn bij het oplossen van verschillende problemen die met dergelijke geometrische vormen samenhangen.

Omtrek van een convexe veelhoek

Polyline-segmenten zijden genoemdveelhoek, meestal aangeduid met de volgende letters: ab, bc, cd, de, ea. Dit zijn de zijkanten van een geometrische figuur met hoekpunten a, b, c, d, e. De som van de lengtes van alle zijden van deze convexe polygoon wordt de omtrek genoemd.

Veelhoek omtrek

Convexe polygonen kunnen worden ingeschreven enbeschreven. Een cirkel die alle kanten van deze geometrische figuur raakt, wordt erin gegraveerd. Zo'n veelhoek wordt beschreven. Het midden van een cirkel die is ingeschreven in een polygoon is het snijpunt van de bissectoren van alle hoeken binnen een gegeven geometrische figuur. Het gebied van een dergelijke polygoon is:

S = p * r,

waarbij r de straal van de ingeschreven cirkel is en p de halve omtrek van de gegeven veelhoek is.

De cirkel met de hoekpunten van de veelhoekgeroepen beschreven over hem. Bovendien wordt deze convexe geometrische figuur ingeschreven. Het middelpunt van een cirkel, dat in de buurt van zo'n veelhoek wordt beschreven, is het snijpunt van de zogenaamde mediale loodlijnen van alle kanten.

Diagonale bolle geometrische vormen

De diagonalen van een convexe polygoon zijn segmenten,die niet aangrenzende hoekpunten verbinden. Elk van hen ligt in deze geometrische vorm. Het aantal diagonalen van zo'n n-gon wordt bepaald door de formule:

N = n (n - 3) / 2.

Het aantal diagonalen van een convexe polygoon speeltbelangrijke rol in elementaire geometrie. Het aantal driehoeken (K) waarin elke convexe veelhoek kan worden gesplitst, wordt berekend met de volgende formule:

K = n - 2.

Het aantal diagonalen van een convexe polygoon is altijd afhankelijk van het aantal hoekpunten.

Een convexe veelhoek splitsen

In sommige gevallen om geometrisch op te lossentaken is het noodzakelijk om een ​​convexe veelhoek te splitsen in verschillende driehoeken met disjunct diagonalen. Dit probleem kan worden opgelost door een bepaalde formule af te leiden.

Definitie van het probleem: we zullen een bepaalde verdeling van een convex n-Gon in verschillende driehoeken correct noemen als diagonalen die alleen de hoekpunten van deze geometrische figuur kruisen.

oplossing: Stel dat P1, P2, P3 ..., Pn de hoekpunten zijn van dit n-Gon. Het nummer Xn is het nummer van de partities. Overweeg zorgvuldig de resulterende diagonaal van de geometrische figuur Pi Pn. In elk van de reguliere partities van P1 behoort Pn tot een bepaalde driehoek P1 Pi Pn, waarvoor 1 <i <n. Hieruit voortgaande en aannemende dat і = 2,3,4 ..., n-1, krijgen we (n-2) groepen van deze partities, die alle mogelijke speciale gevallen omvatten.

Laat і = 2 één correcte groep zijn.scheidingswanden die altijd de diagonale P2 Pn bevatten. Het aantal partities dat erin is opgenomen, valt samen met het aantal partities van het (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Met andere woorden, het is gelijk aan Xn-1.

Als i = 3, dan is deze andere partitiegroepaltijd diagonalen P3 P1 en P3 Pn bevatten. Bovendien zal het aantal reguliere partities dat zich in deze groep bevindt samenvallen met het aantal partities van het (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Met andere woorden, het zal gelijk zijn aan Xn-2.

Laat ik = 4, dan tussen driehoeken de juistede partitie zal zeker een driehoek P1 P4 Pn bevatten, waarop de vierzijdige P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn zal aanliggen. Het aantal reguliere partities van een dergelijke vierhoek is X4 en het aantal partities van het (n-3) -gon is Xn-3. Op basis van het bovenstaande kan worden gezegd dat het totale aantal reguliere partities dat zich in deze groep bevindt, Xn-3 X4 is. Andere groepen met i = 4, 5, 6, 7 ... bevatten Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... juiste partities.

Laat і = n-2, dan zal het aantal reguliere partities in deze groep samenvallen met het aantal partities in de groep waarvoor i = 2 (met andere woorden, is gelijk aan Xn-1).

Omdat X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., is het aantal van alle partities van een convexe polygoon:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

bijvoorbeeld:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Het aantal juiste partities die elkaar kruisen binnen één diagonaal

Bij het controleren van specifieke gevallen kan ervan worden uitgegaan dat het aantal diagonalen van convex n-gons gelijk is aan het product van alle partities van deze figuur door (n-3).

Bewijs van deze aanname: Stel je voor dat P1n = Xn * (n-3), dan kan elk n-Gon worden verdeeld in (n-2) -driehoeken. Tegelijkertijd kunnen ze worden gevouwen (n-3) -vouwen. Samen met dit, zal elke quad een diagonaal hebben. Omdat in deze convexe geometrische figuur twee diagonalen kunnen worden getekend, betekent dit dat het mogelijk is om extra diagonalen (n-3) in willekeurige (n-3) vouwlijnen te tekenen. Op basis hiervan kunnen we concluderen dat het bij elke juiste verdeling mogelijk is om (n-3) -diagonaal te tekenen die voldoet aan de voorwaarden van dit probleem.

Gebied van convexe polygonen

Vaak bij het oplossen van verschillende problemen van elementairgeometrie is het noodzakelijk om het gebied van een convexe polygoon te bepalen. Stel dat (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n een reeks coördinaten is van alle naburige hoekpunten van een polygoon die geen zelfkruisingen heeft. In dit geval wordt het gebied berekend met de volgende formule:

S = ½ (Σ (X_ik + X_{i + 1}) (Y_ik + Y_{i + 1})),

waar (X₁Y₁) = (X_{n +1}Y_{n + 1}).