Wiskundige matrix. Vermenigvuldiging van matrices

Nog steeds wiskundigen van het oude China gebruikt inhun berekeningen opnemen in de vorm van tabellen met een bepaald aantal rijen en kolommen. Vervolgens werden vergelijkbare wiskundige objecten "magische vierkanten" genoemd. Hoewel er bekende gevallen zijn van het gebruik van tabellen in de vorm van driehoeken, die niet op grote schaal zijn gebruikt.

Tot op heden, onder de wiskundige matrixhet is gebruikelijk om het volume van een rechthoekige vorm te begrijpen met een bepaald aantal kolommen en symbolen, die de afmetingen van de matrix bepalen. In de wiskunde heeft deze vorm van schrijven brede toepassing gevonden voor de opname in een compacte vorm van systemen van differentiële, evenals lineaire, algebraïsche vergelijkingen. Er wordt aangenomen dat het aantal rijen in de matrix gelijk is aan het aantal vergelijkingen dat in het systeem aanwezig is, het aantal kolommen komt overeen met hoeveel onbekenden moeten worden bepaald tijdens de oplossing van het systeem.

Bovendien, dat de matrix zelf in de loop van zijnoplossing leidt tot het vinden van onbekenden die zijn ingebed in de conditie van het stelsel van vergelijkingen, er zijn een aantal algebraïsche bewerkingen die op dit wiskundige object kunnen worden uitgevoerd. Deze lijst bevat de toevoeging van matrices met dezelfde afmetingen. Vermenigvuldiging van matrices met geschikte afmetingen (u kunt alleen de matrix vermenigvuldigen, aan de ene kant heeft het een aantal kolommen gelijk aan het aantal rijen van de matrix aan de andere kant). Het is ook mogelijk om de matrix te vermenigvuldigen met een vector, of een element van het veld of de basisring (anders de scalaire waarde).

Gezien de vermenigvuldiging van matrices, volgt hieruitcontroleer zorgvuldig of het aantal kolommen van de eerste strikt overeenkomt met het aantal rijen van de tweede. Anders zal deze actie over de matrices niet worden bepaald. Volgens de regel waarop de matrix wordt vermenigvuldigd met een matrix, wordt elk element in de nieuwe matrix gelijkgesteld aan de som van de producten van de overeenkomstige elementen uit de rijen van de eerste matrix tot elementen uit de kolommen van de andere matrix.

Laten we voor de duidelijkheid een voorbeeld nemen van hoe matrixvermenigvuldiging plaatsvindt. We nemen de matrix A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

vermenigvuldig dit met de matrix B

3 -2

1 0

4 -3.

Element van de eerste regel van de eerste kolomde resulterende matrix is ​​gelijk aan 2 * 3 + 3 * 1 + (- 2) * 4. Dienovereenkomstig wordt in de eerste rij in de tweede kolom element gelijk 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), en zo verder tot het vullen van elk element van de nieuwe matrix. Regel matrixvermenigvuldiging omvat dat het resultaat van een matrix van m x n parameters van de matrix met de verhouding n xk, wordt een tabel met een afmeting van m x k ​​heeft. Naar aanleiding van deze regel, kunnen we concluderen dat het product van de zogenaamde vierkant matrices, respectievelijk, van dezelfde orde wordt altijd gedefinieerd.

Uit de eigenschappen die matrixvermenigvuldiging bezit,Er wordt uit één van de fundamentele feit dat deze bewerking niet commutatief. Die het product is van de matrix M N is gelijk aan het product van N van M. Als vierkante matrices van dezelfde orde wordt opgemerkt dat de voorwaartse en achterwaartse product altijd wordt bepaald, verschillen slechts in het resultaat, worden de rechthoekige matrix zoals bepaalde omstandigheden niet altijd voldaan.

Vermenigvuldiging van matrices heeft een aantal eigenschappen,die duidelijk wiskundig bewijs bevatten. Associativiteit vermenigvuldigmiddelen fidelity volgende wiskundige uitdrukking: (MN) K = M (NK), waarbij M, N en K - een matrix met de parameters waarmee vermenigvuldiging wordt gedefinieerd. Distributiviteit vermenigvuldiging ervan uit dat M (N + K) = MN MK +, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), waarbij L - nummer.

Een gevolg van de eigenschap matrixvermenigvuldiging, genaamd "associativiteit", houdt in dat een werk dat drie of meer factoren bevat mag worden geschreven zonder haakjes te gebruiken.

Het gebruik van de distributiviteitseigenschap maakt het mogelijk om haakjes te openen bij het bestuderen van matrixuitdrukkingen. We letten erop dat als we haakjes openen, we de volgorde van de factoren moeten behouden.

Het gebruik van matrixuitdrukkingen maakt het niet alleen mogelijk om omslachtige vergelijkingssystemen compact te registreren, maar vergemakkelijkt ook het proces van verwerking en oplossing.